Question

（2011•安徽模拟）已知数列{an}中a1=

1

2

，前n项和2Sn=Sn-1-(

1

2

)n-1+2(n≥2，n∈N)．
（Ⅰ）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=

n+1

n

an，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将已知关系式变形得出Sn+an=-(

1

2

)n-1+2  （n≥2）由此当n≥3．时Sn-1+an-1=-(

1

2

)n-2+2，两式相减并构造得出2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1，再利用等差数列定义进行判断证明即可．（Ⅱ） 由（Ⅰ）得出an=

n

2n

，从而cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，利用错位相消法求和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵2Sn=Sn-1-(

1

2

)n-2+2．
即Sn+an=-(

1

2

)n-1+2，n≥2，Sn-1+an-1=-(

1

2

)n-2+2，n≥3．
两式相减得2an=an-1+(

1

2

)n-1，即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1…（3分）
∵b_n=2ⁿa_n，∴b_n=b_n-1+1（n≥3），即当n≥3时，b_n-b_n-1=1，
又b₁=2a₁=1，2（a₁+a₂）=a₁-

1

2

+2，得a₂=

1

2

，∴b₂=4a₂=2，∴b₂-b₁=1，
∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列…（5分）
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，∴an=

n

2n

…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，所以
所以cn=bn•(

1

2

)n=(n+1)(

1

2

)n…（5分）
Tn=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3+…+(n+1)(

1

2

)n①

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+(n+1)(

1

2

)n+1②…（8分）
由①-②得

1

2

Tn=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n-1)(

1

2

)n+1…（10分）
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(n+1)(

1

2

)n+1=

3

2

-

n+3

2n+1

∴Tn=3-

n+3

2n

…（12分）

点评：本题考查等差数列的判定，通项公式求解，错位相消法求和，数列中Sn与a_n关系的应用．需具有转化、变形构造、论证、计算等能力．