Question

 

如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ACD=90°，△PAD为等边三角形，且PA⊥AB．若AB =1，CD =2，AD =，分别取PC、PD的中点为M、N．

（1）证明ABMN是平面图形并求截面ABMN的面积．

（2）求D到平面PBC的距离．

（3）求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦．

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）∵ MN是△PDC的一条中位线． ∴ MN    ，可知MN   AB且它们共面． ∴ ABMN为平面图形且为平行四边形． 又∵ PA⊥AB，∠BAD=90°． ∴ AB⊥平面PAD可知∠BAN=90°故ABMN为矩形． 由已知，得AB =1，． ∴S□ABMN =． （2）∵ AB⊥平面PAD，可知MN⊥平面PAD． ∴ MN⊥AN，又AN⊥PD．PDMN =N． ∴ AN⊥平面PDC，又BM∥AN． < p>∴ BM⊥平面PDC，又BM平面PBC． ∴ 平面PDC⊥平面PBC，交线为PC． 因此，在Rt△PDC中，斜边PC上的高． 即点D到平面PBC的距离为． （3）∵ BM∥AN且BM平面PAD．∴ BM∥平面PAD． 又∵ 所求二面角的棱l（不画出）是过BM的平面PBC与平面PAD的交线． ∴ BM∥l，MN∥l． ∵ AN⊥平面PDC（已证）可知PD⊥AN，PC⊥AN． ∴ PD⊥l，PC⊥l．∠CPO为求二面角的一个平面角． 在Rt△PDC中，sin∠CPD ==即为所求．