题目内容

已知函数f（x）=xsinx+cosx，其导函数k=f'（x）的图象大致为

B
分析：由题可得f^′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx令g（x）=xcosx可观察出过（0，0）点下面只需利用导数判断其在各段的单调性即可得出结果．
解答：∵f（x）=xsinx+cosx
∴f^′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx
令g（x）=xcosx且g（0）=0
∴g（x）过（0，0）点
∵g^′（x）=cosx-xsinx
∴g^′′（x）=-2sinx-xcosx
∴当x∈（ $\text{[math]}$ 时g^′′（x）＞0故g^′（x）单调递增
则 $\text{[math]}$
故存在a $\text{[math]}$ 使得g^′（a）=0
所以当x $\text{[math]}$ 时g^′（x）＜0，g（x）单调递减
当x∈（a，0）时g^′（x）＞0，g（x）单调递增
当x∈（0， $\text{[math]}$ ）时g^′′（x）＜0故g^′（x）单调递减
则 $\text{[math]}$
故存在b∈（0， $\text{[math]}$ ）时使得g^′（b）=0
所以当x∈（0，b）时g^′（x）＞0，g（x）单调递增
当x∈（b， $\text{[math]}$ ）时g^′（x）＜0，g（x）单调递减
综上：f^′（x）在（- $\text{[math]}$ ，a）单调递减，在（a，b）单调递增，在（b， $\text{[math]}$ ）单调递减．结合图象可知选B
故答案选B
点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性．此题关键是不易判断出g^′（x）的正负因此采用再求导数即g^′′（x）=-2sinx-xcosx可判断出x∈（ $\text{[math]}$ 时g^′′（x）＞0故g^′（x）单调递增进而可得出g^′（x）的值有正有负再结合根的存在性定理可得出g^′（x）＞0的区间即g（x）的增区间和g^′（x）＜0的区间即减区间而x∈（0， $\text{[math]}$ ）的单调性可同理讨论！