Question

如图，在直三棱柱中，，．若为的中点，求直线与平面所成的角.

Answer 1

60°

试题分析：因为在直三棱柱中，，．若为的中点，需求直线与平面所成的角.可以建立直角坐标系，通过平面的法向量与直线所在的向量的夹角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值.即可得结论.另外也可以通过构建直线所成的角，通过解三角形求得结论.
试题解析：方法一：如图1以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴建系，则，则            2分；

设平面A₁BC₁的一个法向量，则，
则，取，则                   6分
设AD与平面A₁BC₁所成的角为，

则=                               10分
则,∴AD与平面A₁BC₁所成的角为             12分
方法二：由题意知四边形AA₁B₁B是正方形，故AB₁⊥BA₁．
由AA₁⊥平面A₁B₁C₁得AA₁⊥A₁C₁．
又A₁C₁⊥A₁B₁，所以A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，故A₁C₁⊥AB₁．
从而得 AB₁⊥平面A₁BC₁．                                                4分
设AB₁与A₁B相交于点O，则点O是线段AB₁的中点．
连接AC₁，由题意知△AB₁C₁是正三角形．
由AD，C₁O是△AB₁C₁的中线知：AD与C₁O的交点为重心G，连接OG．
知AB₁⊥平面A₁BC₁，故OG是AD在平面A₁BC₁上的射影，
于是∠AGO是AD与平面A₁BC₁所成的角．                                      6分
在直角△AOG中，AG＝AD＝AB₁＝AB， AO＝AB，
所以sin∠AGO＝＝．                                           10分
故∠AGO＝60°，即AD与平面A₁BC₁所成的角为60°．                       12分