Question

已知△ABC中，A（1，1），B(m，

m

)，C（4，2）其中（1＜m＜4），求m为何值时，△ABC的面积最大；最大面积是多少？

Answer 1

分析：由|AC|=

(4-1)2+(2-1)2

=

10

，求出AC的直线方程，利用点B到直线AC的距离是d=

|m-3 m +2|

10

，S=

1

2

|AC|•d=

1

2

|m-3

m

+2|=

1

2

|(

m

-

3

2

)2-

1

4

|，由此能推导出当m=

9

4

时面积最大为Smax=

1

8

．

解答：解：|AC|=

(4-1)2+(2-1)2

=

10

，
AC的直线方程为x-3y+2=0，
点B到直线AC的距离是d=

|m-3 m +2|

10

，
∴S=

1

2

|AC|•d=

1

2

|m-3

m

+2|
=

1

2

|(

m

-

3

2

)2-

1

4

|
∵1＜m＜4，∴1＜

m

＜2，
∴-

1

2

＜

m

-

3

2

＜

1

2

，
∴0≤(

m

-

3

2

)2＜

1

4

，
∴S=

1

2

[

1

4

-(

m

-

3

2

)2]，
∴当

m

=

3

2

，即m=

9

4

时面积最大，最大面积为Smax=

1

8

．

点评：本题考查点到直线距离公式的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．