Question

在直角坐标系内，点实施变换后，对应点为，给出以下命题：
①圆上任意一点实施变换后，对应点的轨迹仍是圆；
②若直线上每一点实施变换后，对应点的轨迹方程仍是则；
③椭圆上每一点实施变换后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；
④曲线：上每一点实施变换后，对应点的轨迹是曲线，是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，则的最小值为。
以上正确命题的序号是                  （写出全部正确命题的序号）.

Answer 1

①③④

试题分析：由题意点实施变换后，对应点为，对应曲线来说，就是求曲线关于直线的对应曲线，对于①，因为圆的圆心在直线上，所以圆上任意一点实施变换后，对应点的轨迹仍是圆，所以①正确；
对于②，直线关于直线对称的曲线方程为，而直线上每一点实施变换后，对应点的轨迹方程仍是，所以，解得，或,所以②不正确；
对于③，椭圆上的每一点实施后，对应的轨迹方程为，对应的离心率不变，故③正确；对于④，令，易求得时，为减函数，当时，为增函数，所以，由对称性可知，曲线上的点与其关于直线的对称曲线上的点的最小值为，所以④正确；
故答案为①③④.