Question

如图，已知双曲线(a＞0，b＞0)其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F(c，0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足：(O为原点)且(λ≠0)

(Ⅰ)求双曲线的离心率；

(Ⅱ)若a＝2，过点B的直线l交双曲线于M、N两点，问在y轴上是否存在定点C，使为常数，若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)∵B(0，－b)，A( 　　∵2　　∴D为线段FP的中点　　1分 　　∴(c，即A、B、D共线　　2分 　　∴而，∴( 　　得a＝2b∴e＝　　4分 　　(Ⅱ)∵a＝2而e＝双曲线方程为①　　5分 　　∴B(0，－1) 　　假设存在定点C(0，n)使为常数u， 　　设MN的方程为y＝kx－1　　②　　6分 　　由②代入①得 　　由题意得得 　　设M(　　8分 　　而 　　＝ 　　整理得：[4][8－]＝0　　10分 　　对满足 　　∴解得n＝4，u＝17 　　故存在y轴上的定点C(0，4)，使为常数17　　12分