题目内容

 

如图，已知双曲线 (a＞0，b＞0)其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c,0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足：（O为原点）且（λ≠0）

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）若a＝2，过点B的直线l交双曲线于M、N两点，

问在y轴上是否存在定点C，使?为常数，

若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 （Ⅰ）∵B(0,-b)，A(

∵2          ∴D为线段FP的中点        1分

∴(c,即A、B、D共线                  2分

∴而?,?∴(

得a=2b∴e=           4分?

（Ⅱ）∵a=2而e=双曲线方程为①5分∴B(0,-1)

假设存在定点C(0,n)使为常数u，

设MN的方程为y=kx-1          ②          6分

由②代入①得

由题意得得

设M(?          8分

而?

=?

整理得：［4］［8-］=0       10分

对满足

∴解得n=4,u=17

故存在y轴上的定点C(0,4),使为常数17          12分

 

练习册系列答案
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精英家教网如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且过C，D两顶点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为
 
．
精英家教网如图，已知双曲线E：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为
F1（-c，0）、F2（c，0），点A（c，b），B（0，b），O为坐标原点，直线OA与直线F2B的交点在双曲线E上．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）设直线F1A与双曲线E 交于M、N两点，
F1M
=λ
MA
，
F1N
=μ
NA
，若λ+μ=4，求双曲线E的方程．
（3）在（2）的条件下，过点B的直线与双曲线E相交于不同的两点P、Q，求
BP
•
BQ
的取值范围．
精英家教网如图，已知双曲线x2-
y2
3
=1，A，C分别是虚轴的上、下顶点，B是左顶点，F为左焦点，直线AB与FC相交于点D，则∠BDF的余弦值是（　　）
A、
7
7
B、
5
7
7
C、
7
14
D、
5
7
14
精英家教网如图，已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足：2
OD
=
OF
+
OP
（O为原点）且
AB
=λ
AD
(λ≠0)
（1）求双曲线的离心率；
（2）若a=2，过点B的直线l交双曲线于 M、N两点，问在y轴上是否存在定点C，使?
CM
•
CN
为常数，若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．
精英家教网如图，已知双曲线C：
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率e=
2
，F1、F2分别为双曲线C的上、下焦点，M为上准线与渐近线在第一象限的交点，且
MF1
•
MF2
=-1．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l交双曲线C的渐近线l1、l2于P1、P2，交双曲线于P、Q，且
P1P
=2
PP2
，求|
PQ
|的最小值．

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