Question

已知双曲线

x2

3

-y2=1的左右焦点分别为F₁F₂，过F₁且倾斜角为60°的直线l与双曲线交于M，N两点，则△MNF₂的内切圆半径为

3

3

．

Answer 1

分析：依题意可求得直线MN的方程，与

x2

3

-y²=1联立，可求得|MN|，再利用双曲线的定义可求得△MNF₂的周长，设F₂到直线MN的距离为d，利用△MNF₂的面积公式即可求得△MNF₂的内切圆半径．

解答：解：∵

x2

3

-y²=1的右焦点为F₂（2，0），左焦点为F₁（-2，0），
∴过F₁且倾斜角为60°的直线l方程为：y=

3

（x+2），
∴由

x2 3 -y2=1 y= 3 (x+2)

消去y得：8x²+36x+39=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程8x²+36x+39=0的两根．
∴x₁+x₂=-

9

2

，x₁x₂=

39

8

，
∴|MN|=

1+( 3 )2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

81 4 -4× 39 8

=

3

．
∵|MF₂|-|MF₁|=2

3

，
|NF₂|-|NF₁|=2

3

，
∴|MF₂|+|NF₂|=4

3

+|MN|=5

3

．
∴△MNF₂的周长为|MF₂|+|NF₂|+|MN|=6

3

；
设F₂（2，0）到直线MN

3

x-y+2

3

=0的距离为d，
则d=

| 3 ×2+2 3 |

( 3 )2+(-1)2

=2

3

，
∴S△MNF2=

1

2

|MN|•d=

1

2

×

3

×2

3

=3．
设△MNF₂的内切圆半径为r，
则S△MNF2=

1

2

（|MF₂|+|NF₂|+|MN|）•r=3

3

r，
∴3

3

r=3，
∴r=

3

3

．
故答案为：

3

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的相交，考查点到直线间的距离公式，考查转化与运算的综合应用，属于难题．