Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，都有a_n是n与S_n的等差中项．
（1）求证：a_n=2a_n-1+1（n≥2）；
（2）求证：数列{a_n+1}为等比数列；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用a_n是n与S_n的等差中项，以及a_n=s_n-s_n-1，推出a_n=2a_n-1+1（n≥2）即可；
（2）利用（1）直接推出数列{a_n+1}为等比数列；
（3）利用（2）求出通项公式，然后通过拆项法求数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：（1）证明：∵a_n是n与S_n的等差中项，
∴2a_n=n+S_n①
于是2a_n-1=n-1+S_n-1（n≥2）②
①-②得2a_n-2a_n-1=1+a_n
∴a_n=2a_n-1+1（n≥2）
（2）证明：当n≥2时，由a_n=2a_n-1+1得 a_n+1=2（a_n-1+1）
∴

an+1

an-1+1

=2
当n=1时，2a₁=1+S₁即 2a₁=1+a₁
∴a₁=1，a₁+1=2
所以{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
（3）解：∵a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1
∴Sn=(21+22+…+2n)-n=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-2-n

点评：本题考查数列的判断，通项公式的求法，前n项和的求法，考查计算能力．