Question

关于x的方程x²+xsin2θ-sinθcotθ=0的两根为α，β，且0＜θ＜2π，若数列1，

1

α

+

1

β

，(

1

α

+

1

β

)2，…，(

1

α

+

1

β

)n的前100项和为0，求θ的值．

Answer 1

分析：由于数列1，

1

α

+

1

β

，(

1

α

+

1

β

)2，…，(

1

α

+

1

β

)n的前100项和为0，可知

α+β

αβ

=-1，再利用方程x²+xsin2θ-sinθcotθ=0的两根为α，β，可得关于θ的方程，从而可解．

解答：解：由题意，S100=

( 1 α + 1 β )100-1

( 1 α + 1 β )-1

=0⇒

( 1 α + 1 β )100=1 1 α + 1 β ≠1

⇒

1

α

+

1

β

=-1⇒

α+β

αβ

=-1，
∵α+β=-sin2θ，αβ=-sinθcotθ=-cosθ，∴2sinθ=-1⇒sinθ=-

1

2

，
∵0＜θ＜2π，∴θ=

7π

6

或

11π

6

．

点评：本题的考点是数列与三角函数的综合，主要考查等比数列的求和，考查韦达定理，关键是利用韦达定理，转化为关于θ的方程，从而可解．