题目内容
已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）成立． 数列{an}满足an=f（2n）（n∈N*），且a1=2．则数列的通项公式an=______．
由于an=f（2n）则an+1=f（2n+1）且a1=2=f（2）
∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）
∴令x=2n，y=2则f（2n+1）=2nf（2）+2f（2n）
∴an+1=2an+2×2n
∴
-
=1
∴数列{
}是以
=1为首项公差为1的等差数列
∴
=1+ (n-1)×1=n
∴an=n2n
∵对于任意的x，y∈R，都有f（x•y）=xf（y）+yf（x）
∴令x=2n，y=2则f（2n+1）=2nf（2）+2f（2n）
∴an+1=2an+2×2n
∴
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
∴数列{
| an |
| 2n |
| a1 |
| 2 |
∴
| an |
| 2n |
∴an=n2n
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