Question

已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为M，求与曲线y=f（x）相切且斜率为e•M（其中e为常数）的切线方程．

Answer 1

分析：（I）先求函数的定义域，然后对函数求导可得f′（x）=lnx+1分别令f′（x）＞0f′（x）＜0可求函数的单调增区间，单调减区间
（II）由（I）可知函数x=

1

e

取得最小值，从而可求故M=f（

1

e

），e•M=-1
设满足条件的切点为（x₀，y₀），则根据导数的几何意义可求切点坐标为（(

1

e2

，

-2

e2

)，进一步可得切线方程

解答：解：（I）函数的定义域为：（0，+∞）
对函数求导可得f′（x）=lnx+1
令f′（x）＞0可得x＞

1

e

f′（x）＜0可得0＜x＜

1

e

则函数的单调增区间为（

1

e

，+∞），单调减区间为（0，

1

e

）
（II）由（I）可知函数x=

1

e

取得最小值，故M=f（

1

e

）=-

1

e

，e•M=-1
设满足条件的切点为（x₀，y₀），则根据导数的几何意义有lnx₀+1=-1即x0=

1

e2

切点坐标为（(

1

e2

，

-2

e2

)
切线方程为y+

2

e2

=-(x-

1

e2

)
x+y+

1

e2

=0

点评：（1）想要求函数的单调区间，可先求函数的定义域，然后结合导数的符号进行求解，此类问题容易忽略对定义域的判断
（2）利用导数的几何意义设出切点坐标是解决该问题的关键