题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点．
（1）求直线ON的斜率kON；
（2）对于椭圆C上的任意一点M，设
OM
=λ
OA
+μ
OB
（λ∈R，μ∈R），求证：λ2+μ2=1．
（1）设椭圆的焦距为2c，
因为
c
a
=
6
3
，所以有
a2-b2
a2
=
2
3
，故有a2=3b2．
从而椭圆C的方程可化为x2+3y2=3b2                                        ①
∴右焦点F的坐标为（
2
b，0），
据题意有AB所在的直线方程为：y=x-
2
b．②
由①，②有：4x2-6
2
bx+3b2=0．③
设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点N（x0，y0），由③及韦达定理有：x0=
3
2
4
b，y0=x0-
2
b=-
2
4
b
所以kON=
y0
x0
=-
1
3
，即为所求．…（6分）
（2）证明：显然
OA
与
OB
可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量
OM
，有且只有一对实数λ，μ，使得等式
OM
=λ
OA
+μ
OB
成立．
设M（x，y），由（1）中各点的坐标有：（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），
故x=λx1+μx2，y=λy1+μy2．…（8分）
又因为点M在椭圆C上，所以有(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2
整理可得：λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．④
由③有：x1+x2=
3
2
2
b，x1x2=
3
4
b2．
所以x1x2+3y1y2=3b2-9b2+6b2=0   ⑤
又点A，B在椭圆C上，故有x12+3y12=x22+3y22=3b2．⑥
将⑤，⑥代入④可得：λ2+μ2=1．…（13分）
练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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