题目内容

已知函数 $数学公式$ 的定义域为 $数学公式$ ，值域为[-5，1]，求常数a，b的值．

解：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
=-2asin（ $\text{[math]}$ +2x）+2a+b，∵0≤x≤ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2x≤ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ≤sin（ $\text{[math]}$ +2x）≤1，
当a＞0时，-2a≤-2asin（ $\text{[math]}$ +2x）≤-a，∴-2a+2a+b≤f（x）≤-a+2a+b，即 b≤f（x）≤a+b，
∴ $\text{[math]}$ ，∴a=6，b=-5．
当a＜0时，-a≤-2asin（ $\text{[math]}$ +2x）≤-2a，-a+2a+b≤f（x）≤-2a+2a+b，即a+b≤f（x）≤b，
$\text{[math]}$ ，∴a=-6，b=1．
综上，a=6，b=-5；或 a=-6，b=1．
分析：利用两角和的正弦公式化简f（x）解析式，由根据函数f（x）的定义域求出f（x）的范围，结合所给的值域，待定系数法
求出常数a，b的值．
点评：本题考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域、值域，体现了分类讨论的数学思想．根据函数f（x）的定义域求出f（x）的范围，是解题的关键．