Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点满足方程.

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）作曲线C关于轴对称的曲线，记为，在曲线C上任取一点，过点P作曲线C的切线l，若切线l与曲线交于A，B两点，过点A，B分别作曲线的切线，，且，的交点为Q，试问以Q为直角的是否存在，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），（2）存在，或

【解析】

（1）平方化简，即可求解；

（2）根据导数的几何意义求出切线l的方程，与曲线方程联立，由韦达定理，确定两交点A，B坐标关系，再利用导数的几何意义，求出切线，的方程，并联立求出Q点坐标，

利用，结合A，B坐标关系，即可求解.

（1）由，

两边平方并化简，得，即，

所以点M的轨迹C的方程为.

（2）依题可设点，，

曲线C切于点P的切线l的斜率为，

切线l的方程为，

整理得

依题可知曲线，

联立方程组，，

设，，所以，.（*）

设曲线上点处的切线斜率为，

切线方程为，整理得，

同理可得曲线上点处的切线方程为，

联立方程组，，

又由（*）式得，

所以，的交点Q的坐标为，

假设以Q为直角的存在，则有，

而，，

所以由，得，

即，

即，

化简得，

因为由题得，所以或，

所以点P的坐标为或.