Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x+m-lnx的定义域为[1，3]，值域为M，若对于任意的a，b，c∈M，a，b，c都分别是一个三角形的三边的长度，则m的取值范围是（ln2-1，+∞）．

Answer 1

分析 利用导数求出函数f（x）=$\frac{1}{2}$x+m-lnx在定义域[1，3]上的值域M，把对于任意的a，b，c∈M，a，b，c都分别是一个三角形的三边的长度转化为$\left\{\begin{array}{l}{f（x）_{min}＞0}\\{2f（x）_{min}＞f（x）_{max}}\end{array}\right.$，求出满足条件的m的范围得答案．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{2}$x+m-lnx，得f′（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{x}=\frac{x-2}{2x}$，
当x∈[1，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f′（x）＞0，
∴当x∈[1，2）时，f（x）单调递减，当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，
∴当x=2时，f（x）_min=f（2）=m+1-ln2；
而f（1）=$\frac{1}{2}+m$，f（3）=$\frac{3}{2}+m-ln3$，
f（1）-f（3）=ln3-1＞0，
∴$f（x）_{max}=\frac{1}{2}+m$，
∴M=[m+1-ln2，$\frac{1}{2}+$m]，
若对于任意的a，b，c∈M，a，b，c都分别是一个三角形的三边的长度，
则$\left\{\begin{array}{l}{m+1-ln2＞0}\\{2（m+1-ln2）＞\frac{1}{2}+m}\end{array}\right.$，解得：m＞ln2-1．
故答案为：（ln2-1，+∞）．

点评 本题主要考查了函数最值的应用，以及构成三角形的条件，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．