题目内容

已知点A是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的右顶点，过点A且垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线交于B、C两点，若△BOC为锐角三角形，则离心率的取值范围为
（1，
2
 ）
（1，
2
 ）
．
分析：为解题简单，可以设B在x轴上方，根据题意，若△BOC为锐角三角形，则∠BOA＜45°，结合双曲线的渐近线方程进而可得KOB=
b
a
＜1，而e2=
c2
a2
=
a2+b2
a2
=1+
b2
a2
，将
b
a
＜1代入可得1＜e2＜2，进而开方可得答案．
解答：解：设B在x轴上方，根据题意，若△BOC为锐角三角形，则∠BOA＜45°，则KOB＜1，
KOB=
b
a
，则
b
a
＜1，
则e2=
c2
a2
=
a2+b2
a2
=1+
b2
a2
，
易得1＜e2＜2，
则1＜e＜
2
，
故答案为（1，
2
）．
点评：本题考查双曲线的简单性质，解题的关键是有△BOC为锐角三角形，得到
b
a
＜1．
练习册系列答案
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已知点F是双曲线x2-
y2
2
=1的一个焦点，过点F作直线l交双曲线于两点P、Q，若|PQ|=4，则这样的直线l有且仅有（　　）
已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是
3
3
3
3
．
已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是（　　）

已知点A是双曲线x2－y2＝1的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是

[　　]

A．
B．
C．3
D．6

已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是                     （   ）                

(A)           (B)             (C) 3            (D)  6

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