Question

已知P为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)左支上一点，F₁，F₂为双曲线的左右焦点，且cos∠PF₁F₂=sin∠PF₂F₁=

5

5

则此双曲线离心率是（　　）

• A、

  5

• B、5
• C、2

  5

• D、3

Answer 1

分析：先根据cos∠PF₁F₂=sin∠PF₂F₁推断△PF₁F₂为直角三角形，设|PF₁|=x，||PF₂|=y，根据勾股定理可知x²+y²=4c²，同时又根据正弦定理可得

x

sin∠PF2F1

=

y

sin∠PF1F2

得出x与y的关系，联立方程求得x和y，进而根据双曲线定义y-x=2a，从而找到a和c的关系，求得离心率e．

解答：解：cos∠PF1F2=sin∠PF2F1
∴90°-∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，即90°=∠PF₁F₂+∠PF₂F₁
设|PF₁|=x，||PF₂|=y
则有x²+y²=4c²，①
根据正弦定理

x

sin∠PF2F1

=

y

sin∠PF1F2

即

x

5 5

=

y

2 5 5

∴2x=y②
①②联立方程求得x=

2 5

5

c，y=

4 5

5

c
∴根据双曲线定义可知y-x=

2 5

5

c=2a
∴e=

c

a

=

5

故选A

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了用定义法来解决圆锥曲线的问题．