题目内容

集合A₁，A₂，…，A_n的元素个数分别为1、2、…、n，它们的真子集个数分别为f（1），f（2），…，f（n），则f（1）+f（2）+…+f（n）=

A.
2ⁿ-2
B.
$数学公式$
C.
2ⁿ⁺¹-2
D.
2ⁿ⁺¹-n-2

D
分析：根据题意，由集合的元素数目与其真子集数目的关系，可得f（n）=2ⁿ-1，可得f（1）+f（2）+…+f（n）=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1），由分组求和法计算可得答案．
解答：根据题意，若集合A_n的元素个数为n，则其真子集个数为2ⁿ-1，即有f（n）=2ⁿ-1，
则f（1）+f（2）+…+f（n）=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=2¹+2²+2³+…2ⁿ-n= $\text{[math]}$ -n=2ⁿ⁺¹-n-2，
故选D．
点评：本题考查数列的求和与集合的元素数目与其真子集数目的关系，关键是分析得到f（n）=2n-1，再结合等比数列的求和公式，用分组求和法求解．

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