Question

（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列满足：

（I）求的值，猜测的表达式并给予证明；
（II）求证：
（III）设数列的前n项和为

Answer 1

略

解：（Ⅰ），
猜测：
下用数学归纳法
①当，猜想成立；
②假设当时猜想成立，即
由条件

两式相减得：

则当时，

时，猜想也成立
故对一切的成立
（Ⅱ）设
由
由的单调性知在内有且只有一个极大值点，
且

即
令时有
又当

（Ⅲ）
由（Ⅱ）可知


即对一切
又


即对一切