Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=f（x）-2x，，x∈[-1，1]，且不等式g（x）＞m恒成立，求g（x）的值域和实数m的范围．

Answer 1

分析：（I）设f（x）=ax²+bx+c，a≠0，，f（x+1）-f（x）=2x可求a，b，由f（0）=1可求c，进而可求f（x）
（II）由（I）得：g（x）=f（x）-2x=x²-3x+1=(x-

3

2

)2-

5

4

，x∈[-1，1]，结合二次函数的性质可求g（x）的最小值，由g（x）＞m恒成立，则m＜g（x）_min，从而可求m的范围

解答：解：（I）设f（x）=ax²+bx+c，a≠0，（2分）
f（x+1）-f（x）=[a（x+1）²+b（x+1）+c]-（ax²+bx+c）=2ax+a+b…（4分）
与已知条件比较得：

2a=2 a+b=0

解之得，

a=1 b=-1

，
又f（0）=c=1，
∴f（x）=x²-x+1                   …（6分）
（II）由（I）得：g（x）=f（x）-2x=x²-3x+1
=(x-

3

2

)2-

5

4

，x∈[-1，1]…（8分）
当x=1时，g（x）有最小值-1，
当x=-1时，g（x）有最大值5，
∴g（x）的值域为[-1，5]；             …（10分）
∵不等式g（x）＞m恒成立，
∴m＜-1
∴实数m的范围是（-∞，-1）…（12分）

点评：本题主要考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的最值的求解，函数的恒成立与函数最值求解的相互转化的应用．