Question

设等比数列{a_n}的前n项和S_n，首项a₁=1，公比．
（Ⅰ）证明：S_n=（1+λ）﹣λa_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，b_n=f（b_n﹣1）（n∈N*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若λ=1，记，数列{c_n}的前项和为T_n，求证：当n≥2时，2≤T_n＜4．

Answer 1

解：（Ⅰ）

而
所以S_n=（1+λ）﹣λa_n
（Ⅱ），∴，
∴，
∴是首项为，公差为1的等差数列，
，即．
（Ⅲ）λ=1时，，
∴
∴
∴相减得
∴
∴，
又因为，
∴T_n单调递增，
∴T_n≥T₂=2，故当n≥2时，2≤T_n＜4。