题目内容

选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程
x=2cosθ
y=
2
sinθ
（θ为参数），曲线C2的参数方程
x=
2
2
t
y=
2
2
t+
2
（为t参数），且曲线C1与C2相交于A，B两点．
（Ⅰ）求C1，C2的普通方程；
（Ⅱ）若点F（
2
，0），求△FAB的面积．
分析：（Ⅰ）将曲线C1的参数方程
x=2cosθ
y=
2
sinθ
（θ为参数），变为
x
2
=cosθ，
y
2
=sinθ，平方相加即可消去参数θ化为普通方程；由曲线C2的参数方程
x=
2
2
t
y=
2
2
t+
2
（为t参数），将第一个方程代入第二个方程即可消去参数t化为普通方程．
（Ⅱ）将两曲线的方程联立解得交点的坐标，再利用两点间的距离公式即可求得弦长|AB|，再利用点到直线的距离公式即可求得三角形的高，利用面积公式求出即可．
解答：解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程
x=2cosθ
y=
2
sinθ
（θ为参数），消去参数θ得到曲线C1普通方程
x2
4
+
y2
2
=1；
∵曲线C2的参数方程
x=
2
2
t
y=
2
2
t+
2
（为t参数），消去参数t得到曲线C2的普通方程y=x+
2
．
（Ⅱ）联立方程
x2
4
+
y2
2
=1
y=x+
2
 消去y得到关于x的方程3x2+4
2
x=0，解得x1=0，x2=-
4
2
3
．
将x1=0代入方程y=x+
2
，得y1=
2
，∴A（0，
2
）
同理由x2=-
4
2
3
，得到y2=-
2
3
．∴B(-
4
2
3
，-
2
3
)．
由两点间的距离公式得|AB|=
(-
4
2
3
-0)2+(-
2
3
-
2
)2
=
8
3
．
又点F(
2
，0)到直线y=x+
2
的距离d=
|
2
-0+
2
|
12+12
=2，
∴S△FAB=
1
2
d×|AB|=
1
2
×2×
8
3
=
8
3
．
点评：本题考查了将参数方程化为普通方程及直线与圆锥曲线相交弦长及求三角形的面积问题，掌握方法和正确计算是解题的关键．
练习册系列答案
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[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
（t为参数），若以直角坐标系xoy 的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ-
π
4
）．直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC
交于点D．求证：ED2=EB•EC．
B．选修4-2：矩阵与变换
求矩阵M=
-14
26
的特征值和特征向量．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ，直线l与曲线C交于点．A，B，C，求线段AB的长．
D．选修4-5：不等式选讲
对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．
（2013•辽宁）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（θ-
π
4
）=2
2
．
（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；
（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为
x=t3+a
y=
b
2
t3+1
（t∈R为参数），求a，b的值．
选修4-4：
坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，曲线C1为x=acosφ，y=sinφ（1＜a＜6，φ为参数）．
在以0为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C2的方程为ρ=6cosθ，射线ι为θ=α，ι与C1的交点为A，ι与C2除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．
（1）求C1，C2的直角坐标方程；
（2）若过点P（1，0）且斜率为
3
的直线m与曲线C1交于D、E两点，求|PD|与|PE|差的绝对值．
（2011•晋中三模）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为：
x=2cosθ
y=2sinθ
（θ为参数），把曲线c1上所有点的纵坐标压缩为原来的一半得到曲线c2，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2
ρcos(θ-
π
4
)=4．
（1）求曲线c2的普通方程，并指明曲线类型；
（2）过（1，0）点与l垂直的直线l1与曲线c2相交与A、B两点，求弦AB的长．

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