题目内容
已知函数f（x）=x3+a•x2+bx+c的图象上的一点M（1，m）处的切线的方程为y=2，其中a，b，c∈R．
（1）若a=-3，求f（x）的解析式，并表示成f（x）=（x+t）3+k，（t，k为常数）；
（2）问函数y=f（x）是否有单调减区间，若存在，求单调减区间（用a表示），若不存在，请说明理由．
（1）若a=-3，求f（x）的解析式，并表示成f（x）=（x+t）3+k，（t，k为常数）；
（2）问函数y=f（x）是否有单调减区间，若存在，求单调减区间（用a表示），若不存在，请说明理由．
分析：（1）先求出函数在x=1处的导数，得到切线的斜率，建立一等式，再根据切点在函数图象上，建立另一等式，解方程组即可求出所求；
（2）先求导函数，然后f′（x）=0，讨论两根的大小，将a分为三种情形，再分别求出对应的单调减区间．
（2）先求导函数，然后f′（x）=0，讨论两根的大小，将a分为三种情形，再分别求出对应的单调减区间．
解答：（本小题满分12分）
解：（1）f′（x）=3x2+2a•x+b⇒f′（1）=3+2a+b=0
由∵m=2⇒f（1）=1+a+b+c=2∵a=-3⇒b=3，c=1，f（x）=x3-3x2+3x+1=（x-1）3+2…（4分）
（2）f′（x）=3x2+2a•x+b由（1）知b=-2a-3
所以 f′(x) =3x2+2a•x-(2a+3)=3(x+
)•(x-1)…（6分）
令f′(x) =0⇒x=-
，x=1…（8分）
当-
=1?a=-3即f′（x）=3（x-1）2≥0
∵f（x）为R上为增函数，所以函数没有单调减区间； …（9分）
当-
＞1?a＜-3时，可以判定f（x）单调减区间为(1，-
)…（10分）
当-
＜1?a＞-3时，可以判定f（x）单调减区间为(-
，1)…（11分）
综上：a=-3，函数没有单调减区间；a＜-3，f（x）单调减区间为(1，-
)；
a＞-3，f（x）单调减区间为(-
，1)．…（12分）
解：（1）f′（x）=3x2+2a•x+b⇒f′（1）=3+2a+b=0
由∵m=2⇒f（1）=1+a+b+c=2∵a=-3⇒b=3，c=1，f（x）=x3-3x2+3x+1=（x-1）3+2…（4分）
（2）f′（x）=3x2+2a•x+b由（1）知b=-2a-3
所以 f′(x) =3x2+2a•x-(2a+3)=3(x+
| 2a+3 |
| 3 |
令f′(x) =0⇒x=-
| 2a+3 |
| 3 |
当-
| 2a+3 |
| 3 |
∵f（x）为R上为增函数，所以函数没有单调减区间； …（9分）
当-
| 2a+3 |
| 3 |
| 2a+3 |
| 3 |
当-
| 2+3a |
| 3 |
| 2a+3 |
| 3 |
综上：a=-3，函数没有单调减区间；a＜-3，f（x）单调减区间为(1，-
| 2a+3 |
| 3 |
a＞-3，f（x）单调减区间为(-
| 2a+3 |
| 3 |
点评：本题主要考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|