Question

已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝a^x(a＞0且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，记g(x)＝f(x)[f(x)＋f(2)－1]．若y＝g(x)在区间[，2]上是增函数，则实数a的取值范围是

[　　]

A．

[2，＋∞)

B．

(0，1)∪(1，2)

C．

[，1)

D．

(0，]

Answer 1

答案：D
解析：

　　已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝a^x(a＞0且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，

　　则f(x)＝log_ax．

　　记g(x)＝f(x)[f(x)＋f(2)－1]＝(log_ax)²＋(log_a2－1)log_ax．

　　当a＞1时，若y＝g(x)在区间[，2]上是增函数，y＝log_ax为增函数，

　　令t＝log_ax，t∈[log_a，log_a2]，要求对称轴≤log_a，矛盾；

　　当0＜a＜1时，若y＝g(x)在区间[，2]上是增函数，y＝log_ax为减函数，

　　令t＝log_ax，t∈[log_a2，log_a]，要求对称轴≥log_a，解得a≤，

　　所以实数a的取值范围是(0，]．