Question

已知圆过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2) (1) 求圆的方程. (2) 若点P(x，y)在圆上运动，求  y+3 x+6  的最大、最小值

．

Answer 1

分析：（1）设所求的圆的方程为 x²+y²+Dx+Ey+F=0，把圆经过的点的坐标代入，求出待定系数D、E、F的值，即可求得所求的圆的方程．
（2）设k=

y+3

x+6

，则k表示圆上的点与点（-6，-3）连线的斜率，本题即求k的最值．当直线和圆相切时，k取得最值，根据圆心到直线的距离等于半径求得k值，可得结论．

解答：解：（1）设所求的圆的方程为 x²+y²+Dx+Ey+F=0，把圆经过的点的坐标代入可得

F=0 D+E+F=0 4D+2E+F+20=0

，

D=-8 E=6 F=0

，故所求的圆的方程为 x²+y²-8x+6y=0．
（2）设k=

y+3

x+6

，则k表示圆上的点与点（-6，-3）连线的斜率，且 y+3=k（x+6），即 kx-y+6k-3=0．
由于圆即 （x-4）²+（y-3）²=25，故圆心为C（4，-3），半径为5，
当直线和圆相切时，由 5=

|4k+3+6k-3|

k2+1

 k=

3

3

，或 k=-

3

3

．
故k的最大值为

3

3

，最小值为-

3

3

．

点评：本题主要考查直线的斜率公式的应用，直线和圆的位置关系，用待定系数法求圆的方程，属于中档题．