Question

某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可近似地表示为y=

1

10

x2-30x+4000
问：
（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本？
（2）若每吨平均出厂价为16万元，则年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润？

Answer 1

分析：（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（2）利用收入减去总成本表示出年利润，通过配方求出二次函数的对称轴，由于开口向下，对称轴处取得最大值．

解答：解：（1）设每吨的平均成本为W（万元/T），
则W=

y

x

=

x

10

+

4000

x

-30≥2

x 10 × 4000 x

-30=10，（4分）
当且仅当

x

10

=

4000

x

，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为10万元．（6分）
（2）设年利润为u（万元），
则u=16x-（

x2

10

-30x+4000）=-

x2

10

+46x-4000=-

1

10

（x-230）²+1290．（11分）
所以当年产量为230吨时，最大年利润1290万元．（12分）

点评：本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴．