Question

（2008•虹口区一模）已知：

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，x∈[

π

2

，

3π

2

]．
（1）求：|

a

+

b

|的取值范围；
（2）求：函数f（x）=2sinx+|

a

+

b

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）将|

a

+

b

|平方，利用二倍角公式化简，然后利用三角函数的有界性求出|

a

+

b

|的取值范围．
（2）利用二倍角公式及和、差角的正弦公式化简函数f（x）为一个角一个三角函数，利用三角函数的有界性，求出f（x）的最小值．

解答：解：（1）|

a

+

b

|=

(cos 3 2 x+cos x 2 )2+(sin 3 2 x+sin x 2 )2

=

2+2cos2x

，
∵π≤2x≤3π，
∴-1≤cos2x≤1
∴0≤|

a

+

b

|≤1
（2）f(x)=2sinx+

2+2cos2x

=2sinx-2cosx=2

2

sin(x-

π

4

)
由

π

4

≤x-

π

4

≤

5π

4

，
得当x=

3π

2

时，f（x）取得最小值-2

点评：解决三角函数的性质问题，应该先化简三角函数为一个角一个三角函数的形式，然后再解决．