Question

【题目】已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=x﹣8与此抛物线交于A、B两点，与x轴交于点C，O为坐标原点，若 =3 ．
（1）求此抛物线的方程；
（2）求证：OA⊥OB．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线y2=2px（p＞0），焦点F（ ，0），

直线y=x﹣8与x轴交于点C，即C（8，0），

∵ =3 ．即3 =8﹣ ，解得：p=4

∴抛物线的方程为y2=8x

（2）

证明：由 ，得y2=8（y+8），即y2﹣8y﹣64=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

∴y1y2=﹣64，

又 ，

∴ =x1x2+y1y2=64﹣64=0，

∴ ⊥ ，

∴OA⊥OB

【解析】（1）由抛物线y2=2px（p＞0），焦点F（ ，0），C（8，0），由 =3 ，可得3× =8﹣ ，即可求得p的值，求得抛物线的方程；（2）将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理定理可知：y1y2=﹣64，代入求得x1x2 ， 由 =x1x2+y1y2=0，可知 ⊥ ，因此OA⊥OB．