Question

已知奇函数f（x）满足f（-1）=f（3）=0，在区间[-2，0]上是减函数，在区间[2，+∞）是增函数，函数F（x）=，则{x|F（x）＞0}=（ ）
A．{x|x＜-3，或0＜x＜2，或x＞3}
B．{x|x＜-3，或-1＜x＜0，或0＜x＜1，或x＞3}
C．{x|-3＜x＜-1，或1＜x＜3}
D．{x|x＜-3，或0＜x＜1，或1＜x＜2，或2＜x＜3}

Answer 1

【答案】分析：根据奇函数f（x）满足f（-1）=f（3）=0，在区间[-2，0]上是减函数，在区间[2，+∞）是增函数，可得-3＜x＜-1或0＜x＜1，或x＞3时，f（x）＞0；x＜-3或-1＜x＜0或1＜x＜3时，f（x）＜0，再将不等式等价变形，即可得到结论．
解答：解：∵奇函数f（x）满足f（-1）=f（3）=0，在区间[-2，0]上是减函数，在区间[2，+∞）是增函数，
∴-3＜x＜-1或0＜x＜1，或x＞3时，f（x）＞0；x＜-3或-1＜x＜0或1＜x＜3时，f（x）＜0
∵函数F（x）=，∴x＞0且-f（x）＞0，或x＜0且xf（-x）＞0时，F（x）＞0
∴x＞0且f（x）＜0，或x＜0且f（x）＞0时，F（x）＞0
∴-3＜x＜-1或1＜x＜3
故选C．
点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．