Question

（本题满分12分）

函数对任意实数都有,

（Ⅰ）分别求的值；

（Ⅱ）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

 

Answer 1

【答案】

（1）。（2）。

【解析】

试题分析：（Ⅰ），

      --------6分

（Ⅱ）猜想，               ---------8分

下用数学归纳法证明之.

（1）当n=1时,f(1)=1,猜想成立；

（2）假设当n=k时，猜想成立，即 f(k)=k²

则当n=k+1时， f(k+1)=f(k)+f(1)+2k×1=k²+2k+1=(k+1)²

即当n=k+1时猜想成立。

由（1）、（2）可知，对于一切n∈N^*猜想均成立。          ---------12分

考点：抽象函数及应用；数学归纳法。

点评：本题目主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，及数学归纳法在证明数学命题中的应用。属于中档题。