Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx（a∈R） （Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2ax，若g（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 且不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由函数f（x）=ax2﹣（1+2a）x+lnx（a∈R，x＞0），

可得f′（x）=2ax﹣（2a+1）+ = =

①当a= 时，x＞0，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；

②当a＞ 时，x∈（0， ），（1，+∞）时，f′（x）≥0，x 时，f′（x）≤0

∴此时f（x）的增区间为；（0， ），（1，+∞），减区间为：（ ）

③当0＜a＜ 时，x∈（0，1），（ ，+∞）时，f′（x）≥0，x∈（1， ）时，f′（x）≤0

∴此时f（x）的增区间为：（0，1），（ ，+∞），减区间为：（1， ）；

（Ⅱ）g（x）=f（x）+2ax=ax2﹣x+lnx，g′（x）=2ax﹣1+ =

∵g（x）有两个极值点x1，x2，

∴x1，x2是方程2ax2﹣x+1=0（x＞0）的两个不相等实根，

∴△=1﹣4a＞0，且x1+x2= ＞0，x1x2= ＞0，

由g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2），

由g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2），得（ax12﹣x1+lnx1）+（ax22﹣x2+lnx2）＜λ（x1+x2），

整理得：a（x12+ ）﹣（x1+x2）+ln（x1x2）＜λ（x1+x2），

将x1+x2= ＞0，x1x2= ＞0代入得上式得

因为0＜a ，所以λ＞﹣ ﹣2a﹣2aln2a

令h（a）=﹣ ，（0＜a ）

h′（x）=﹣2﹣2ln2a﹣2=﹣2（ln2a+2），令h′（a）=0，得a=

a 时，h′（a）＞0，a ），h′（a）＜0

∴h（a）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减．

∴ ．

∴ ．

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出g（x）的导数，求出x1+x2=a＞0，x1x2=a＞0，∴△=1﹣4a＞0，且x1+x2= ＞0，x1x2= ＞0，

由g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2），问题转化为所以λ＞﹣ ﹣2a﹣2aln2a在（0， ）恒成立，根据函数的单调性求出λ的范围即可．

【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．