Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），|

a

-

b

|=

4 13

13

．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

4

5

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量模的计算方法，结合差角的余弦公式，即可求cos（α-β）的值；
（2）利用sinα=sin（α-β+β）=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）•sin β，可得结论．

解答：解：（1）∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），|
∴

a

-

b

=（cos α-cos β，sin α-sin β ）．
∴|

a

-

b

|²=（cos α-cos β）²+（sin α-sin β ）²=2-2cos（α-β）=

16

13

，
∴cos（α-β）=

5

13

．
（2）∵0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

4

5

，
∴cosβ=

3

5

，且0＜α-β＜π．
又∵cos（α-β）=

5

13

，∴sin（α-β）=

12

13

，
∴sinα=sin（α-β+β）=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）•sin β=

12

13

×

3

5

+

5

13

×（-

4

5

）=

16

65

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查和差的三角函数，考查学生的计算能力，属于中档题．