Question

（2010•江西模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB，

BA

•

BC

=

4

3

，则b的最小值为（　　）

• A．2

  3

• B．

  2 3

  3

• C．

  4 3

  3

• D．

  8

  3

Answer 1

分析：首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB-2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可；由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，然后利用均值不等式求出答案．

解答：解：由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，
故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，
因此 cosB=

1

3

．
由

BA

•

BC

=

4

3

，可得accosB=

4

3

，
 又cosB=

1

3

，故ac=4，
由b²=a²+c²-2accosB，
可得a²+c²≥2ac=8，（当且仅当a=b时取“=”号），
∴b²≥

4

3

ac=

16

3

所以b的最小值为

4 3

3

．
故选C

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．