Question

【题目】已知a，b，c∈（0，+∞）．

（1）若a=6，b=5，c=4是△ABC边BC，CA，AB的长，证明：cosA∈Q；

（2）若a，b，c分别是△ABC边BC，CA，AB的长，若a，b，c∈Q时，证明：cosA∈Q；

（3）若存在λ∈（-2，2）满足c2=a2+b2+λab，证明：a，b，c可以是一个三角形的三边长．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）利用余弦定理求出cosA=0.125∈Q得证；（2）利用余弦定理得cosA=∈Q得证；（3）不妨假设不存在以a，b，c为三边的三角形，即：a+b≤c，找到矛盾即得证.

证明：（1）∵a=6，b=5，c=4，

∴由余弦定理可得：cosA==0.125∈Q，得证；

（2）∵任意两个有理数的和，差，积，商（除数不为0）仍是有理数，

∴a，b，c∈Q时，可得：cosA=∈Q；

（3）∵不妨假设不存在以a，b，c为三边的三角形，即：a+b≤c，

∴两边平方，可得：a2+b2+2ab≤a2+b2+λab，

∴λ≥2，

∵λ∈（-2，2），矛盾，

故假设不成立，即存在以a，b，c为三边的三角形．