Question

设函数f（x）=（x-1）²+blnx，其中b为常数．
（1）当b＞

1

2

时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

都成立．

Answer 1

（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=2x-2+

b

x

=

2x2-2x+b

x

=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

(x＞0)
∴当b＞

1

2

时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
（2）①由（Ⅰ）得，当b＞

1

2

时，函数f（x）在定义域上无极值点．
②b=

1

2

时，f′(x)=

(2x-1)2

2x

=0有两个相同的解x=

1

2

，但当x∈(0，

1

2

)时，f′(x)＞0；当x∈(

1

2

，+∞)时，f′(x)＞0时，
∴b=

1

2

时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点．
③当b＜

1

2

时，f'（x）=0有两个不同解，x1=

1

2

-

1-2b

2

，x2=

1

2

+

1-2b

2

∴（i）b≤0时，x1=

1

2

-

1-2b

2

≤0∉(0，+∞)，舍去，而x2=

1

2

+

1-2b

2

≥1∈(0，+∞)，
此时f'（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	减	极小值	增

由此表可知：∵b≤0时，f（x）有惟一极小值点，x=

1

2

+

1-2b

2

，
（ii）当0＜b＜

1

2

时，0＜x₁＜x₂＜1
此时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

由此表可知：0＜b＜

1

2

时，f（x）有一个极大值x1=

1

2

-

1-2b

2

和一个极小值点x2=

1

2

+

1-2b

2

；
综上所述：当且仅当b＜

1

2

时f（x）有极值点；
当b≤0时，f（x）有惟一最小值点，x=

1

2

+

1-2b

2

；
当0＜b＜

1

2

时，f（x）有一个极大值点x=

1

2

-

1-2b

2

和一个极小值点x=

1

2

+

1-2b

2

（3）由（2）可知当b=-1时，函数f（x）=（x-1）²-lnx，
此时f（x）有惟一极小值点x=

1

2

+

1-2b

2

=

1+ 3

2

且x∈(0，

1+ 3

2

)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，

1+ 3

2

)为减函数 

∵当n≥3时，0＜1＜1+ 1 n ≤ 4 3 ＜ 1+ 3 2 ， ∴恒有f(1)＞f(1+ 1 n )，即恒有0＞ 1 n2 -ln(1+ 1 n ) ∴当n≥3时恒有ln(n+1)-lnn＞ 1 n2 成立

 
令函数h（x）=（x-1）-lnx（x＞0）则h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

              

∴x＞1时，h′(x)＞0，又h(x)在x=1处连续∴x∈[1，+∞)时h(x)为增函数 ∵n≥3时1＜1+ 1 n ∴h(1+ 1 n )＞h(1)即 1 n -ln(1+ 1 n )＞0 ∴ln(n+1)-lnn=ln(1+ 1 n )＜ 1 n 综上述可知n≥3时恒有 1 n ＞ln(n+1)-lnn＞ 1 n2