Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+3bx
（1）若a=1，b=0，求f'（2）的值；
（2）若f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求导数，代入相应的值，可得f'（2）的值；
（2）利用f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），建立方程组，即可求a，b的值；
（3）利用导数的正负，即可求得函数f（x）的单调区间．

解答：解：（1）求导数得f'（x）=3x²-6ax+3b，…（3分）
当a=1，b=0时，f'（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴f'（2）=0…（4分）
（2）由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），
所以

f(1)=-11 f′(1)=-12

…（6分）
即

1-3a+3b=-11 3-6a+3b=-12

，解得a=1，b=-3…（9分）
（3）由a=1，b=-3得：f'（x）=3x²-6ax+3b=3（x²-2x-3）=3（x+1）（x-3）…（10分）
由f'（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；由f'（x）＜0，解得-1＜x＜3．--------------------（13分）
故函数f（x）在区间（-∞，-1），（3，+∞）上单调递增，在区间（-1，3）上单调递减．---（14分）

点评：本小题主要考查导数、函数解析式、函数极值、函数的单调性、单调区间等知识，考查待定系数、化归与转化数学思想方法，综合运用能力和运算求解能力．