Question

【题目】已知公差大于0的等差数列的前n项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求的表达式；

（3）若，存在非零常数，使得数列是等差数列，存在，不等式成立，求k的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】

（1）根据数列的基本量，结合下标和性质，列出方程，求得首项和公差，则问题得解；

（2）讨论的正负，分类讨论，即可求得；

（3）根据（1）中所求可得，根据其为等差数列，求得，将问题转化为存在性问题，即可求得的取值范围.

（1）因为数列是等差数列，故可得，

结合，容易得或，

因为，故可得，则，

解得，，故.

故.

（2）根据（1）中所求，令，解得，

故数列的前项均为负数，从第8项开始都为正数.

当时，；

当时，

.

综上所述：.

（3）由（1）中所求，可知，

故可得，因为存在非零常数，使得其为等差数列，

故可得，即，

整理得，解得，舍去.

故.

则存在，不等式成立

等价于存在，不等式成立.

则只需，

根据对勾函数的单调性，且当时，；

当时，，

故的最小值为.

则即可.