Question

若抛物线y=ax²-1上总存在两点关于直线x+y=0对称，则实数a的取值范围是（　　）

A．( 1 4 ，+∞)

B．( 3 4 ，+∞)

C．(0， 1 4 )

D．( 1 4 ， 3 4 )

Answer 1

设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），线段PQ的中点为M（x₀，y₀），设
直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，
所以方程组

y=x+b y=ax2-1

有两组不同的实数解，即得方程ax²-x-（1+b）=0．①
∵△=1+4a（1+b）＞0．②
由中点坐标公式可得，x₀=

x1+x2

2

=

1

2a

，y₀=x₀+b=

1

2a

+b．
∵M在直线L上，
∴0=x₀+y₀=

1

2a

+

1

2a

+b，
即b=-

1

a

，代入②解得a＞

3

4

．
故实数a的取值范围（

3

4

，+∞）
故选B