Question

7．给出以下五个命题：
①一个底面半径为1，母线长为2的圆锥的表面积为3π；
②设当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
③已知数列{a_n}是等差数列，若它的前n项和S_n有最小值，且$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}$＜-1，则使S_n＞0成立的最小自然数为19；
④函数f（x）=|lgx|，若0＜m＜n，且f（m）=f（n），则m+2n的取值范围为[2$\sqrt{2}$，+∞）；
⑤半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值是-2；
其中正确的命题有①②④（请将满足题意的序号填写在答题卷中的横线上）．

Answer 1

分析 对5个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①一个底面半径为1，母线长为2的圆锥的表面积为π+$\frac{1}{2}×2π×2$=3π，正确；
②函数f（x）=sinx-2cosx=$\sqrt{5}$sin（x-α）（其中cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ-α）=1，即sinθ-2cosθ=$\sqrt{5}$，
又sin²θ+cos²θ=1，联立得（2cosθ+$\sqrt{5}$）²+cos²θ=1，解得cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，正确；
③由已知得，a₁＜0，d＞0，a₁₀＜0，a₁₁＞0，∴a₁+a₁₉＜0，a₁₀+a₁₁＞0，∴a₁+a₂₀＞0，
∴S₁₉＜0，S₂₀＞0，故n=20，不正确；
④画出y=|lgx|的图象如图：
∵0＜m＜n，且f（m）=f（n），
∴0＜m＜1，n＞1
∴-lgm=lgn，
∴mn=1，
即n=$\frac{1}{m}$，
∴m+2n=m+$\frac{2}{m}$．
∵函数g（m）=m+$\frac{2}{m}$在（0，1）上单调递减，
∴g（m）＞g（1）=1+2=3，
即m+2n＞3，则m+2n的取值范围是（3，+∞），不正确；
⑤∵O为AB的中点，∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PO}$，
∴（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PC}$=-2|$\overrightarrow{PO}$||$\overrightarrow{PC}$|；
又|$\overrightarrow{PO}$|+|$\overrightarrow{PC}$|=2|$\overrightarrow{OC}$|=2为定值，
∴当且仅当|$\overrightarrow{PO}$|=|$\overrightarrow{PC}$|=1，即P为OC的中点时，（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值是-2，正确；
故答案为：①②④．

点评 本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强，属于中档题．