Question

（本小题满分14分）
如图，设点、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且最小值为．

（1）求椭圆的方程；
（2）若动直线均与椭圆相切，且，试探究在轴上是否存在定点，点到的距离之积恒为1？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）存在定点为或满足要求

试题分析：（1）设，则有，         ……1分
                   ……2分
由最小值为得，                    ……3分
∴椭圆的方程为．                                         ……4分
（2）①当直线斜率存在时，设其方程为            ……5分
把的方程代入椭圆方程得
∵直线与椭圆相切，∴，
化简得                                                     ……7分
同理，                                                     ……8分
∴，若，则重合，不合题意，∴                  ……9分
设在轴上存在点，点到直线的距离之积为1，
则，即，                         ……10分
把代入并去绝对值整理，
或者
前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的恒成立
则，解得；                                             ……12分
②当直线斜率不存在时，其方程为和，                ……13分
定点到直线的距离之积为；
定点到直线的距离之积为；
综上所述，满足题意的定点为或                           ……14分
点评：每年高考都会考查圆锥曲线问题，此类题目一般运算量较大，主要考查学生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.