Question

在△ABC中，已知AB=

3

，BC=2．
（Ⅰ）若cosB=-

3

6

，求sinC的值；
（Ⅱ）求角C的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知的AB和BC，及cosB的值，利用余弦定理即可求出AC的值，然后由cosB的值，根据B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后利用正弦定理，由AB，AC及sinB的值即可求出sinC的值；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出AB的平方得到一个关系式，把AB和BC的值代入即可得到关于AC的一元二次方程，由题意可知方程有解，即根的判别式大于等于0，即可列出关于cosC的不等式，求出不等式的解集即可得到cosC的范围，根据C的范围利用余弦函数的图象及特殊角的三角函数值即可得到C的范围．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理知，
AC²=AB²+BC²-2AB×BC×cosB=4+3+2×2

3

×（-

3

6

）=9．
所以AC=3．
又因为sinB=

1-cos2B

=

1-(- 3 6 )2

=

33

6

，
由正弦定理得

AB

sinC

=

AC

sinB

．
所以sinC=

AB

AC

sinB=

11

6

．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得，AB²=AC²+BC²-2AC×BCcosC，
所以，3=AC²+4-4AC×cosC，
即AC²-4cosC×AC+1=0．
由题，关于AC的一元二次方程应该有解，
令△=（4cosC）²-4≥0，得cosC≥

1

2

，或cosC≤-

1

2

（舍去），
因为AB＜BC，得到C不为最大角即不为钝角，所以，0＜C≤

π

3

，即角C的取值范围是（0，

π

3

]．

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，掌握余弦函数的图象和性质，是一道综合题．