Question

古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图中的1，4，9，16…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是

 

．
①289　②1024　③1225　④1378．

Answer 1

分析：根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果．

解答：解：由图形可得三角形数构成的数列通项 an=

n

2

(n+1)，
同理可得正方形数构成的数列通项b_n=n²，
则由b_n=n²（n∈N₊）可排除D，又由 an=

n

2

(n+1)，
知a_n必为奇数，

n

2

(n+1)=289无正整数解，
故答案为：③．

点评：考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题．