Question

6．已知焦点在x轴上的椭圆经过点（0，$\sqrt{6}$），焦距为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．可得b=$\sqrt{6}$，2c=4，a²=b²+c²，即可得出．
（2）e=$\frac{c}{a}$．

解答 解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．
∴b=$\sqrt{6}$，2c=4，解得c=2，∴a²=b²+c²=10．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
（2）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．