Question

已知f（x）=

x+ 1 2 ，0≤x≤ 1 2 2(1-x)， 1 2 ＜x≤1

，则方程f[f（x）]=x的解集为

 

．

Answer 1

分析：根据复合函数的表达式，分别对x进行分段讨论，即可求解．

解答：解：若0≤x≤

1

2

，
则f（x）=x+

1

2

，
∴f（x）=x+

1

2

∈[

1

2

，1]，
∴f[f（x）]=x等价为f[（x+

1

2

）]=2（1-x-

1

2

）=2-2x-1=x，
∴3x=1，即x=

1

3

．
若

1

2

＜x≤1，
则f（x）=2（1-x）=2-2x∈[0，1），
①当

1

2

＜x≤

3

4

时，f（x）=2（1-x）=2-2x∈[

1

2

，1），
∴f[f（x）]=x等价为f[（2-2x）]=2（1-2+2x）=4x-2=x，
即x=

2

3

，满足条件．
②当

3

4

＜x≤1时，f（x）=2（1-x）=2-2x∈[0，

1

2

），
∴f[f（x）]=x等价为f[（2-2x）]=2-2x+

1

2

=

5

2

-2x=x，
即x=

5

6

，满足条件．
综上方程f[f（x）]=x的解集为{

1

3

，

2

3

，

5

6

}，
故答案为：{

1

3

，

2

3

，

5

6

}．

点评：本题只要考查复合函数的综合应用，要对变量进行分类讨论，综合性强，运算量较大．