Question

已知函数f（x）=x+

a

x

+b（x≠0），其中a，b∈R．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；
（3）若对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，f（x）=x+

2

x

+b（x≠0），f′（x）=1-

2

x2

，由此能求出函数f（x）的单调减区间．
（2）先根据导数的几何意义可知f'（2）=3，求出a的值，然后根据切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上求出b，从而求出函数的解析式．
（3）由函数f（x）=x+

a

x

+b（x≠0），对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，知

x+a

x+b

≤10，由a∈[

1

2

，2]，x∈[

1

4

，1]，知x+a＞0．当x+b＜0时，

x+a

x+b

≤10恒成立，由此能求出b的取值范围．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=x+

2

x

+b（x≠0），
∴f′（x）=1-

2

x2

，
由f′（x）=1-

2

x2

≤0，x≠0，得-

2

≤x＜0，或0＜x≤

2

．
解得函数f（x）的单调减区间为{x|-

2

≤x＜0，或0＜x≤

2

}．
（2）f′（x）=1-

a

x2

，由导数的几何意义得f'（2）=3，于是a=-8．
由切点P（2，f（2））在直线y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．
所以函数f（x）的解析式为f（x）=x-

8

x

+9．
（3）∵函数f（x）=x+

a

x

+b（x≠0），对于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，
∴

x+a

x+b

≤10，①
因为a∈[

1

2

，2]，x∈[

1

4

，1]，
所以，a＞0，x＞0，从而得到x+a＞0．
当x+b＜0时，

x+a

x+b

≤10恒成立，
∴b＜-x∈[-1，-1/4]恒成立，∴b＜x_min=-1，即b＜-1．②
当x+b＞0时，由①得：x+a≤10x+10b，10b≥a-9x  
∴

x≥ 1 4 x≤1 a≥ 1 2 a≤1

，此时就变成了一个线性规划问题，把a当作y，也就是a作为纵坐标，
 目标函数为：z=y-9x，
10b≥Z恒成立，也就是左边的10b比右边的最大值还要大．
可行域为矩形，最优解为A（

1

4

，1），C（1，

1

2

），
Z_A=1-

9

4

=-

5

4

，
Z_C=1-

9

2

=-

7

2

，
∴Z_max=-

5

4

，
10b≥-

5

4

，
b≥-

1

8

，③
又因为b＞-x∈[-1，-

1

4

]恒成立，∴b＞-

1

4

，④
将③④取交集得：b＞-

1

8

．
综上所述，b∈（-∞，-1）∪（-

1

8

，+∞）．

点评：本题考查函数的减区间的求法，考查函数的解析式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．