Question

在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．
（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；
（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）

（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，
直线的方程为，与联立得消去得．
由韦达定理得，．
于是．

，
当时，．
（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，
的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，
则，点的坐标为．
，
，

，
．
令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

，
又由点到直线的距离公式得．
从而，
当时，．
（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，
将直线方程代入得，
则．
设直线与以为直径的圆的交点为，
则有．
令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线．