Question

求下列函数的值域
（1）y=

1-x

1+x

       
（2）y=x-

2x+1

       
（3）y=

1

2x2-3x+1

．

Answer 1

分析：（1）本题宜用分离常数法求值域，其定义域为{x|x≠0}函数 y=

1-x

1+x

可以变为y=-1+

2

1+x

再由函数的单调性求值域．
（2）令

1+2x

=t，将函数转化成关于t的一道定函数在定区间上的值域问题，通常利用配方法，结合函数的图象及函数在区间上的单调性，求得相应的最值，从而得函数的值域．
（3）先把函数化为：2yx²-3yx+y-1=0，根据判别式△≥0即可得出函数的值域．

解答：解：（1）由题函数的定义域为{x|x≠-1}
 y=

1-x

1+x

=-1+

2

1+x

≠-1
 故函数的值域为{y|y≠-1}
（2）：令

1+2x

=t，t≥0，则 x=

t2-1

2

，
∴y=

1

2

t2-t-

1

2

=

1

2

(t-1)2-1≥-1，当且仅当t=1时取等号
故所求函数的值域为[-1，+∞），
（3）原式可化为：2yx²-3yx+y-1=0，
∴△=9y²-8y（y-1）≥0，
∴y（y+8）≥0，
∴y＞0 或y≤-8，，
故答案为：（-∞，-8]∪（0，+∞）

点评：本题考查了函数的值域，属于基础题，关键是掌握函数值域的两种不同求法．（1）小题求值域采用了分离常数法的技巧，对于分式形函数单调性的判断是一个好办法，注意总结这种技巧的适用范围以及使用规律．（2）是通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域．换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）．