题目内容

求下列函数的值域
(1)y=1+sinx+cosx+
12
sin2x  x∈[-π,π];
(2)y=-cos3xcosx.
分析:(1)根据解析式t=sinx+cosx,利用两角和的正弦公式进行化简后,由x的范围求出t的范围,由对t的式子两边平方后,由平方关系求出sinxcosx,代入解析式转化为关于t的二次函数,对式子配方后利用二次函数的性质求出最值,就求出值域;
(2)把解析式化简后,根据cosx的范围,求出cos2x的范围,进而求出函数的值域.
解答:解:(1)由题意得,y=1+sinx+cosx+
1
2
sin2x=1+sinx+cosx+sinxcosx
令t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
),∵x∈[-π,π],∴t∈[-
2
2
];
且sinxcosx=
1
2
(t2-1),
代入解析式得,y=
1
2
t2+t+
1
2
=
1
2
(t+1)2,t∈[-
2
2
],
当t=-1时,函数有最小值是0;当t=
2
时,函数有最大值是
3
2
+
2

∴函数的值域是[0,
3
2
+
2
],
(2)由题意得,y=-cos3xcosx=y=-cos4x,
∵-1≤cosx≤1,∴0≤cos2x≤1,∴-1≤-cos4x≤0,
即函数的值域是[-1,0].
点评:本题的考点是复合三角函数的值域的求法,主要利用换元法和“sinx+cosx”与“sinxcosx”的关系,注意由函数的定义域和正弦(余弦)函数的值域,求出换元后的自变量的范围,根据二次函数的性质求出函数的值域.
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